Kritische Knickdrücke in kollabierbaren Schläuchen, relevant für biomedizinische Strömungen

Wissenschaftliche Berichte Band 13, Artikelnummer: 9298 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Das Verhalten kollabierter oder stenotischer Gefäße im menschlichen Körper kann anhand vereinfachter Geometrien wie einem kollabierbaren Schlauch untersucht werden. Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, den Wert des kritischen Knickdrucks eines kollabierbaren Rohrs mithilfe der Landau-Theorie des Phasenübergangs zu bestimmen. Die Methodik basiert auf der Implementierung eines experimentell validierten numerischen 3D-Modells eines kollabierbaren Rohrs. Der kritische Knickdruck wird für verschiedene Werte geometrischer Parameter des Systems geschätzt, indem die Beziehung zwischen dem intramuralen Druck und der Fläche des zentralen Querschnitts als Ordnungsparameterfunktion des Systems behandelt wird. Die Ergebnisse zeigen die Abhängigkeit der knickkritischen Drücke von den geometrischen Parametern eines kollabierbaren Rohrs. Es werden allgemeine, dimensionslose Gleichungen für die knickkritischen Drücke abgeleitet. Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass sie keine geometrischen Annahmen erfordert, sondern ausschließlich auf der Beobachtung basiert, dass das Knicken eines kollabierbaren Rohrs als Phasenübergang zweiter Ordnung behandelt werden kann. Die untersuchten geometrischen und elastischen Parameter sind für biomedizinische Anwendungen sinnvoll, mit besonderem Interesse für die Untersuchung des Bronchialbaums unter pathophysiologischen Bedingungen wie Asthma.

Die Möglichkeit, den Massentransport im menschlichen Körper, sei es in der Luft oder im Blut, anhand mathematischer und numerischer Modelle zu untersuchen, stellt eines der fruchtbarsten Beispiele für die Brücke zwischen Medizin und Technik dar. Die Anwendung von Computational Fluid Dynamics (CFD), Fluid-Structure Interaction (FSI) und Aeroakustikmodellen hat das Verständnis der pathophysiologischen Zustände unter anderem des Kreislaufsystems1, des Atmungssystems2, 3, des Stimmbildungsprozesses4 und des zerebrovaskulären Systems5 erheblich verbessert die Anderen. Die Gültigkeit der mit solchen numerischen Modellen erzielten Ergebnisse muss durch fallspezifische experimentelle Kampagnen bestätigt werden. Die Vielfalt und geometrische Komplexität der menschlichen Gefäße kann diesen entscheidenden Schritt zu einer extremen Herausforderung machen. In diesem Zusammenhang werden vereinfachte Modelle wie zusammenklappbare Röhren6,7,8 sowohl in numerischen Modellen als auch in der klinischen Praxis immer noch häufig eingesetzt. Trotz der vereinfachten Geometrie ist die Phänomenologie einer kollabierbaren Röhre umfassend genug, um die wichtigsten physikalischen Mechanismen kollabierter Gefäße zu erfassen9. Die Dynamik eines kollabierbaren Schlauchs hängt im Wesentlichen vom sogenannten intramuralen Druck ab, der als Druckunterschied zwischen dem Inneren (dem Lumen) und dem Äußeren des Schlauchs definiert ist. Bei Vorhandensein einer Flüssigkeitsströmung muss ein zusätzlicher Beitrag aufgrund der Beschleunigung der Strömung in der Nähe der Verengung berücksichtigt werden, was zu einem Bereich mit negativem statischen Druck führt. Wenn der äußere Druck zunimmt (dh der intramurale Druck wird negativ), beginnt der Schlauch zu kollabieren. Bei einem kritischen Wert des intramuralen Drucks kommt es im Rohr zu einem Knickphänomen, das zu einem zweilappigen Querschnitt führt (siehe Abb. 1). Ein solcher Wert wird als kritischer Knickdruck bezeichnet und spielt eine wichtige Rolle bei der Beurteilung und Diagnose vieler Pathologien mit Stenose und Verengungen10,11,12. In dieser Konfiguration würden kleine Schwankungen des intramuralen Drucks zu großen Schwankungen der Lumenfläche führen. Wenn der Außendruck weiter zunimmt (oder der Innendruck aufgrund der Beschleunigung des Flusses weiter abnimmt), berühren sich die Innenwände des Schlauchs (siehe Abb. 1) und führen schließlich zum vollständigen Verschluss des Lumens. Eine präzise und patientenspezifische Schätzung des kritischen Knickdrucks ermöglicht fundiertere klinische Entscheidungen. Ein Beispiel ist der kritische Druck für die Rachenknickung bei Patienten mit obstruktiver Schlafapnoe (OSA). OSA ist die häufigste Pathologie im Spektrum schlafbezogener Atmungsstörungen13. Bei OSA-Patienten kommt es während des Schlafs immer wieder zu einem Kollaps des Rachenraums, was zu Apnoe führt, die die Lebensqualität der Patienten erheblich beeinträchtigt. Die Beurteilung des Schweregrads der Pathologie und die Wahl der Behandlung hängen stark von den Werten des kritischen Knickdrucks des Pharynx ab14. Allerdings erfordert seine Schätzung, dass die Patienten die Nacht im Krankenhaus verbringen und kontinuierlich überwacht werden, was für den Patienten eine ziemlich aufdringliche Erfahrung und hohe wirtschaftliche Auswirkungen auf das Gesundheitssystem zur Folge hat15.

Aus einer eher quantitativen Perspektive lässt sich dieses Problem anhand des sogenannten Tubengesetzes formulieren, also der Beziehung zwischen dem intramuralen Druck und der Fläche des zentralen Querschnitts des kollabierbaren Tubes (siehe Abb. 1). Es ist wichtig zu beachten, dass diese Beziehung auch bei fehlendem Fluss gültig ist. Der blaue Kreis in Abb. 1 markiert den Bereich, in dem der Übergang stattfindet. Wenn der negative intramurale Druck im absoluten Wert zunimmt, erfolgt zunächst der Übergang zur Knickkonfiguration. Die sanduhrförmige Querschnittsfläche nimmt schnell an Wert ab, bis es zum Kontakt des Lumens kommt. Im Kontext des Rohrgesetzes können die Forschungsfragen wie folgt formuliert werden: Ist es möglich, den genauen Wert des kritischen Beuldrucks im blauen Bereich in Abb. 1 ausgehend von den geometrischen und elastischen Eigenschaften des kollabierbaren Rohrs abzuschätzen? ? Wie hängen diese Werte von solchen Eigenschaften ab? Ist es möglich, allgemeine Gleichungen zu finden, die den kritischen Knickdruck für kollabierbare Rohre abschätzen können, die für biomedizinische Strömungen relevant sind?

Ein Beispiel für das Röhrengesetz (rechts). Der blaue Kreis zeigt den Bereich an, in dem die Knickübergänge auftreten. Auf der linken Seite werden die Querschnitte relativ zum Vorknick-, Nachknick- und Nachkontaktregime dargestellt. Die Fläche ist auf die Fläche des zentralen Querschnitts entsprechend der Ruhekonfiguration normiert.

Interessanterweise wurde das Problem des kritischen Knickdrucks bereits Anfang des 20. Jahrhunderts von Mises16 angesprochen (für eine Behandlung auf Englisch kann man Timoschenkos Buch17 konsultieren), der die folgende Gleichung für einen zweilappigen Knickquerschnitt ableitete:

In dieser Gleichung ist E der Elastizitätsmodul, \(\nu\) das Poisson-Verhältnis, \(\gamma =h/D\), wobei h die Dicke der Wand und D der Innendurchmesser ist, und \(d =l_0/D\), wobei \(l_0\) die Länge im Ruhezustand der Röhre ist. Die analytische Ableitung dieser Gleichung beruht jedoch auf starken geometrischen Annahmen. Die erste Annahme einer perfekten zylindrischen Geometrie des Systems behindert seine Anwendung auf realistischere Geometrien. Zweitens überschätzt diese Gleichung, da sie auf der Dünnschalentheorie beruht, den Wert des kritischen Drucks für den Parameterbereich, der für biomedizinische Strömungen von Interesse ist18 (siehe „Knickender kritischer Druck“). Darüber hinaus unterliegen menschliche Gefäße einer erheblichen Vordehnung19 (bis zu \(60\%\) der ursprünglichen Länge des Atmungssystems20), die in Gl. (1). Daher war die Analyse des Röhrengesetzes Gegenstand mehrerer Studien und ist derzeit sowohl aus technischer21 als auch aus klinischer22 Perspektive äußerst relevant. Es wurden mehrere analytische Ableitungen des Röhrengesetzes unter unterschiedlichen Annahmen vorgeschlagen. Whittaker et al.23 untersuchten die Dynamik eines langen, vorgestreckten, dünnwandigen, faltbaren Schlauchs, der einem isotropen intramuralen Druck ausgesetzt ist. Die resultierenden Gleichungen gelten nur unter der Annahme kleiner Verformungen. Shapiro und Mitarbeiter analysierten das Verhalten des kollabierbaren Schlauchs in Gegenwart des stetigen24 und instationären25 Flüssigkeitsflusses sowie seine Anwendung in der Medizin26 und auf die Analyse von Wellenausbreitungsphänomenen27. Conrad schlug ein Lumped-Parameter-Modell vor, um die Dynamik eines kollabierbaren Rohrs als flussgesteuerten nichtlinearen Widerstand zu beschreiben28. Ein weiteres Lumped-Parameter-Modell wurde von Bertram29 vorgeschlagen, um das komplexe Fluid-Struktur-Wechselwirkungsverhalten eines kollabierbaren Rohrs zu beschreiben. Aufgrund der relativ einfachen Geometrie des Systems hat die experimentelle Untersuchung kollabierbarer Rohre eine lange Geschichte. Die erste experimentelle Beobachtung des Einsetzens venöser selbsterregter Oszillationen wurde 1824 von D. Barry berichtet (weitere Einzelheiten finden Sie im historischen Rückblick von Bertram30). In jüngerer Zeit wurde die nichtlineare Dynamik dünnwandiger Rohre unter instationärem Außendruck von Kumar und Mitarbeitern untersucht21. Gregory et al.31 haben mithilfe der Stereoskopie mit mehreren Kameras ein empirisches verallgemeinertes Rohrgesetz für dünnwandige Rohre ermittelt, die unterschiedlichen axialen Vorspannungen ausgesetzt sind. Solche experimentellen Daten32 wurden zur experimentellen Validierung der Ergebnisse der vorliegenden Arbeit verwendet. Trotz solch beeindruckender Arbeiten, die viele Aspekte des Verhaltens kollabierbarer Rohre weitgehend geklärt haben, bleibt die Schätzung des kritischen Knickdrucks eine offene Frage. Die Auswirkungen relevanter Parameter wie der axialen Vordehnung, der Wandstärke und der Rohrlänge auf das Rohrgesetz wurden von Bertram33 experimentell untersucht. In jüngerer Zeit verwendeten Kozlovsky et al.34 ein experimentell validiertes numerisches 2D-Modell, um die Auswirkungen der Wandstärke auf das Nachknickverhalten eines kollabierbaren Rohrs bei fehlender Strömung zu untersuchen. In ihrer Arbeit wurde der kritische Knickdruck aus dem Rohrgesetz mithilfe einer grafischen Methode geschätzt, die darin besteht, den Schnittpunkt zwischen den beiden linearen Bereichen zu finden, die durch das glatte Knie zu Beginn der Knickung verbunden sind (der blaue Bereich in Abb. 1). ). Zarandi und Mitarbeiter haben die Auswirkungen der Rohrlänge auf den kritischen Knickdruck kollabierbarer Rohre35 bei fehlender Strömung analysiert. In dieser Arbeit wurde die Abschätzung des kritischen Knickdrucks durchgeführt, indem zunächst eine lineare Anpassung des Rohrgesetzes vor der Knickung erstellt und diese dann um einen beliebigen Betrag verschoben wurde. Interessanterweise stimmen ihre Ergebnisse qualitativ nicht mit Gl. überein. (1) da sie die Abhängigkeit des kritischen Drucks vom Länge-Durchmesser-Verhältnis als \(p^{krit}_{buckl}\sim d^{-3.3}\) berechnen, was die Notwendigkeit zusätzlicher Untersuchungen weiter bestätigt.

Zusammenfassend sind die beiden Hauptprobleme, die neue bedeutende Fortschritte auf diesem Gebiet und damit die Möglichkeit einer Ausweitung dieser Analysen auf die klinische Praxis behindern, die folgenden:

Eine sorgfältige Analyse des Rohrgesetzes (wie in Abb. 1 skizziert) zeigt, dass der Übergang zwischen dem Zustand vor und nach dem Knicken eines kollabierbaren Rohrs kontinuierlich ist. Folglich ist die Schätzung des tatsächlichen kritischen Drucks nicht trivial und wurde nur anhand grafischer oder heuristischer Kriterien durchgeführt, die kaum verallgemeinert werden können.

Die meisten Modellierungsansätze basieren grundsätzlich auf starken geometrischen Annahmen wie perfekten zylindrischen Rohren oder elastischen 1D-Ringen. Darüber hinaus wird die axiale Vorstreckung im Allgemeinen vernachlässigt.

In dieser Arbeit wird eine neue Methode vorgeschlagen, die auf Landaus Theorie der Phasenübergänge36 basiert, um den Wert des kritischen Knickdrucks aus der Analyse des Rohrgesetzes zu bestimmen. Die Hauptannahme besteht darin, dass der Übergang eines kollabierbaren Rohrs in den Knickzustand als spontaner Symmetriebruch beschrieben werden kann. Diese Hypothese wurde kürzlich in der Arbeit von Turzi37 gefestigt, der bewies, dass das Knickverhalten eines elastischen Rings unter der Wirkung eines gleichmäßigen Außendrucks ein Phasenübergang zweiter Ordnung ist. Die Methodik der vorliegenden Arbeit basiert auf der Implementierung eines experimentell validierten numerischen 3D-Modells eines kollabierbaren Rohrs. Das Ergebnis dieser Simulationen besteht aus einer Reihe von Röhrengesetzen, die aus einem Bereich von Werten für die geometrischen Parameter kollabierbarer Röhren ermittelt werden, die für biomedizinische Anwendungen relevant sind. Eine auf der Phasenübergangstheorie basierende Nachverarbeitungstechnik wird verwendet, um den kritischen Knickdruck abzuschätzen. Die Abhängigkeit des mit dieser Technik erhaltenen kritischen Beuldrucks von den geometrischen Parametern wird mit Gl. (1). Abschließend wird unter Verwendung der von Gregory et al.31 vorgeschlagenen nichtdimensionalen Variablen ein Satz allgemeiner Gleichungen für den kritischen Knick- und Kontaktdruck vorgestellt.

Diese Arbeit zielt darauf ab, die Machbarkeit der vorgeschlagenen Methode zur Schätzung des kritischen Knickdrucks im einfacheren Fall eines zylindrischen kollabierbaren Rohrs ohne Flüssigkeitsströmung zu untersuchen. Diese Annahme beeinträchtigt nicht die Vollständigkeit der physikalischen Beschreibung des Problems. Tatsächlich besteht einer der Hauptvorteile dieser Methode darin, dass sie ohne weitere Annahmen auf komplexere Fälle mit FSI und realistischen Geometrien verallgemeinert werden kann, die Gegenstand einer zukünftigen Arbeit sein werden.

Das Ziel des numerischen Modells besteht darin, das Verschiebungsvektorfeld eines kollabierbaren Rohrs vorherzusagen, dessen Außenwand einem nach innen gerichteten isotropen Druck ausgesetzt ist. Die Geometrie des Rohrs wird durch drei nichtdimensionale Parameter beschrieben: das Länge-zu-Durchmesser-Verhältnis d, das Dicke-zu-Durchmesser-Verhältnis \(\gamma\) und das Verhältnis, nämlich l, zwischen der erhaltenen Länge nach der Auferlegung einer axialen Vordehnung und der Ruhelänge. Um die Analyse für menschliche Gefäße relevant zu machen, wurden die Werte dieser geometrischen Parameter mithilfe des Horsfield-Modells19 und der Arbeit von Hoppin20 ausgewählt (blauer Kasten in Abb. 2a). Wie in Abb. 2a dargestellt, zeichnen sich menschliche Gefäße im Allgemeinen durch einen niedrigen d-Wert (dh sie sind im Verhältnis zu ihrem Durchmesser relativ kurz) und einen breiten Bereich an Dickenwerten aus. Bemerkenswert ist, dass die axiale Vordehnung Werte bis zu 60 % der ursprünglichen Länge erreichen kann20 und daher im Modellierungsschema nicht vernachlässigt werden kann. Die numerischen Simulationen werden mit der kommerziellen Software Siemens Star-CCM+ durchgeführt. Für jedes Triplett \((d,\gamma , l)\) geometrischer Parameter (schwarze Punkte in Abb. 2a) wird mithilfe der integrierten CAD-Software eine 3D-Nachbildung des entsprechenden Rohrs implementiert. Um die Richtung der Knickung zu steuern, wird der Querschnitt der Domäne als Ellipse mit einem Achsenverhältnis von 0,99 entworfen (siehe Abb. 2b). Da die Simulation darauf abzielt, das Verhalten des Systems vor und nach dem Knicken zu erfassen, wird das Rohr als neo-Hookesches hyperelastisches Material modelliert, um solch große Verformungen zu berücksichtigen (siehe „Sensitivitätsanalyse“ für einen Vergleich mit der linearen Elastizitätstheorie). Das Material gilt als nahezu inkompressibel. Das Netz wurde mithilfe einer strukturierten Volumenoperation generiert, wobei als Eingabefläche eine der kurzen Seiten der Domäne verwendet wurde. Der Rechenbereich ist mit zwei radialen Schichten und 50 Längsschichten aus hexaedrischen Netzzellen diskretisiert. Die Winkelrichtung ist in 64 Elemente unterteilt (siehe Abb. 2b). Die Wahl hexaedrischer Elemente gewährleistet eine korrekte Schätzung großer Dehnungen auch mit linearen finiten Elementen38. Der Zeitschritt ist für die gesamte Simulation festgelegt und beträgt \(\Delta t = 0,1\) s mit einem Marschschema zweiter Ordnung. Jeder Zeitschritt ist in 10 innere Iterationen des Lösers unterteilt, um die ordnungsgemäße Konvergenz der Lösung sicherzustellen. Im Rahmen einer reinen Festkörpermechaniksimulation wird die Konvergenz anhand des Restfehlers der diskretisierten Version der gelösten Differentialgleichungen gemessen. Der in dieser Studie verwendete Löser schätzt diesen Fehler r für jedes Element des Netzes und berechnet dann seinen quadratischen Mittelwert als \(R_{rms}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _n r^2}\ ), wobei n die Anzahl der Netzzellen ist. Dieser Wert wird für jede der 10 inneren Iterationen innerhalb eines Zeitschritts berechnet und anschließend normalisiert. Die Anzahl der inneren Iterationen wurde so gewählt, dass der Restfehler am Ende jedes Zeitschritts in der Größenordnung von \(R_{rms}\sim 10^{-14}\)–\(10^{ -16}\), was eine hervorragende Konvergenz der numerischen Lösung gewährleistet. Die Randbedingungen des Problems lauten wie folgt: Eine kurze Seite der Domäne ist eingeklemmt, dh es ist keine Bewegung des gesamten Querschnitts zulässig. Die andere kurze Seite der Domäne wird um einen Betrag vorgedehnt, der vom Wert des geometrischen Parameters l abhängt. Anschließend wird die durch die Vordehnung erhaltene Position dieser kurzen Seite für den Rest der Simulation beibehalten. Auf die Außenwand der Domäne (dh die zylindrische Oberfläche) wird ein isotroper positiver Druck ausgeübt, der zu einem negativen intramuralen Druck führt. Der Wert des Außendrucks steigt linear mit der Zeit an (weitere Einzelheiten finden Sie unter „Das Rohrgesetz“), was zunächst zum Knicken des Rohrs und schließlich zum Kontakt der Innenwand führt. Der Kontakt wird über eine abstoßende virtuelle Ebene gehandhabt, um ein Eindringen in die Wand zu vermeiden. Wenn sich die Innenwände dem Kontakt nähern, übt die Ebene eine Kraft in Richtung ihrer Normalen aus und die Wände liegen folglich auf der Ebene, ohne einander zu durchdringen.

(Linkes Feld) Verteilung der in dieser Arbeit untersuchten geometrischen Parameterwerte. Die schwarzen Punkte beziehen sich auf die Simulationen, während sich die roten Punkte auf die experimentellen Daten von Gregory et al.31 beziehen. Die blaue Box stellt den Raum möglicher Werte dar, die in den Modellen von Horsfield19 und Hoppin20 zugelassen sind. (Rechtes Feld) Skizze des in den numerischen Simulationen verwendeten Netzes. Um die Richtung der Knickung zu steuern, ist der radiale Querschnitt des Rohrs eine Ellipse, deren Nebenachse in vertikaler Richtung ausgerichtet ist und eine Länge von 0,99 r hat.

Im folgenden Unterabschnitt wird die Nachbearbeitungsmethode zur Berechnung des Röhrengesetzes beschrieben. Anschließend wird eine Sensitivitätsanalyse im Hinblick auf Netzkonvergenzstudien, Randbedingungen und Modellierungsoptionen vorgestellt. Abschließend wird die experimentelle Validierung der numerischen Ergebnisse diskutiert.

Das Schlauchgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem intramuralen Druck und der Fläche des zentralen Querschnitts eines kollabierbaren Schlauchs. Der intramurale Druck ist definiert als die Differenz zwischen Innen- und Außendruck, nämlich:

Aufgrund des fehlenden Flüssigkeitsflusses wird der intramurale Druck nur durch den Wert des Außendrucks bestimmt, da der Manometerdruck auf Null gesetzt ist und \(p_{int}=0\). Der Außendruck ist isotrop und nimmt gemäß der folgenden Beziehung linear mit der Zeit zu

wobei \(p_{max}>0\) der Maximalwert des Außendrucks ist und \(t\in [0,\tau ]\). Eine Sensitivitätsstudie im Hinblick auf das Verhältnis \(p_{max}/\tau\) wird in „Sensitivitätsanalyse“ diskutiert. Bei jedem Zeitschritt wird der Wert von \(p_{intr} = -p_{ext}\) aufgezeichnet. Der zentrale Querschnitt des Rohrs wird am stärksten kollabiert sein, da er radial am weitesten von den eingespannten Flächen entfernt ist. Um den Wert der Fläche zu bestimmen, werden die Radialkoordinaten \((r_i^j, \vartheta _i^j)\) des entsprechenden deformierten Umfangs in jedem Zeitschritt aufgezeichnet, wobei der Index \(i=1,\dots ,N\) beschriftet die Netzelemente und N ist die Gesamtzahl der Netzelemente am Umfang. Der Index \(j=1,\dots ,M\) entspricht dem j-ten Zeitschritt und M ist die Gesamtzahl der Zeitschritte, die benötigt werden, damit der äußere Druck den Wert \(p_{max}\) in Gleichung erreicht . (3). Die Fläche \(A^j\) des zentralen Querschnitts kann dann wie folgt berechnet werden:

Die beiden Mengen \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\) definieren ein Röhrengesetz. Für jedes in Abb. 2 angegebene Triplett des geometrischen Parameters \((d,\gamma,l)\) wird ein Röhrengesetz unter Verwendung von Gleichung berechnet. (4) aus der entsprechenden numerischen Simulation. In „Knickungskritischer Druck“ wird eine auf der Phasenübergangstheorie basierende Nachbearbeitungstechnik eingeführt, um den Wert des knickungskritischen Drucks aus dem Rohrgesetz zu bestimmen.

Eine Gitterkonvergenzanalyse ist erforderlich, um das effizienteste Netz zu bestimmen, mit dem zuverlässige Ergebnisse erzielt werden können. Die Studie wird durchgeführt, indem die Anzahl der Netzelemente in radialer, Winkel- und Längsrichtung geändert wird. Einzelheiten zu den Netzspezifikationen finden Sie in Tabelle 1. Die Bewertung der verschiedenen Gitter erfolgt durch Vergleich der entsprechenden Rohrgesetze. Die Ergebnisse sind in Abb. 3 dargestellt. Wie insbesondere aus der Analyse der Winkelelemente (siehe Abb. 3a) hervorgeht, kann das grobe Netz den Knickübergang nicht korrekt vorhersagen und wird im Kontaktbereich instabil. Für alle folgenden Analysen wurde das Zwischennetz verwendet. Bei dieser Wahl beträgt die Simulationszeit auf 128 Kernen etwa fünfzehn Minuten.

Netzsensitivitätsanalyse des numerischen Modells.

Um sicherzustellen, dass die Berechnung des Rohrgesetzes nicht durch die Steigung der Rampe für den in Gl. beschriebenen Außendruck beeinflusst wird. (3) wird eine Sensitivitätsanalyse hinsichtlich des Verhältnisses \(p_{max}/\tau\) durchgeführt. Insbesondere werden durch die Festlegung des Wertes von \(p_{max}=4000\) Pa drei verschiedene Werte von \(\tau \in (10 \, \text { s}, 5 \, \text { s}, 2,5) ermittelt \, \text { s})\) untersucht, entsprechend Druckgeschwindigkeiten von \((400 \, \text { Pa/s}, 800 \, \text { Pa/s}, 1600 \, \text { Pa /s})\). Die Ergebnisse werden im Hinblick auf die entsprechenden Röhrengesetze interpretiert. Der Wert von \(p_{max}\) wurde ausgewählt, um für die Analyse pathologischer Atemwegserkrankungen relevant zu sein. Tatsächlich liegt der Druckabfall zwischen den Alveolargängen und dem Mund unter normalen Atembedingungen in der Größenordnung von 2000 Pa39. Bei forcierter Ausatmung kann sie jedoch je nach Größe des Patienten zwischen 4.000 und 10.000 Pa40 variieren41. Bei Asthma kommt es in diesem Druckbereich häufig zu einer erzwungenen Ausatmung mit pfeifenden Atemgeräuschen, die mit dem Kollaps der Atemwege der Lunge einhergehen42. Wie in Abb. 4a dargestellt, ist die mit einer Druckrate von 1600 Pa/s verbundene Druckauflösung zu grob, um das Verhalten des Rohrs sowohl in der Knick- als auch in der Kontaktphase zu erfassen. Für alle folgenden Analysen wird der größte Wert von \(\tau\), entsprechend 400 Pa/s, verwendet.

(Linkes Feld) Analyse der Abhängigkeit des Modells von der externen Druckrampe. (Rechtes Feld) Vergleich der Röhrengesetze, die durch Verwendung der linearen Elastizität und des Neo-Hookeschen Elastizitätsmodells erhalten wurden.

Um die großen Verformungen zu berücksichtigen, die mit dem vollständigen Vor- und Nachknickverhalten eines kollabierbaren Rohrs einhergehen, muss ein hyperelastisches Material verwendet werden43. In dieser Analyse wurde ein Neo-Hookesches Materialgesetz implementiert. Das entsprechende Verformungsenergiepotential lautet

wobei \(I_1\) die Spur (erste Invariante) des rechten Cauchy-Green-Deformationstensors ist, J die Determinante des Deformationsgradiententensors ist und

wobei \(\nu\) und E die Poisson-Zahl bzw. der Elastizitätsmodul sind. Der Wert dieser beiden elastischen Parameter beträgt \(\nu =0,49\) und \(E=1\) MPa. Die Dichte der Röhre beträgt \(\rho =1000\) kg·m\(^{-3}\). Diese Werte wurden in der Arbeit von Gregory31 als relevant für die Analyse von Leitungen in der menschlichen Lunge eingeschätzt. Wie im nächsten Unterabschnitt erläutert, ist das Neo-Hookean-Modell in der Lage, die experimentellen Ergebnisse zu reproduzieren. Der Vergleich zwischen den Rohrgesetzen, die mit einem Neo-Hookean-Material und einem isotropen linear-elastischen Material erhalten wurden, ist in Abb. 4b dargestellt. Durch die Verwendung des linearen elastischen Modells wird die Simulation instabil und kann das Rohrgesetz im Nachknickbereich nicht erfassen. Der Grund liegt in den großen Verformungen, die dabei auftreten. Obwohl es von Interesse sein könnte, die Empfindlichkeit der erhaltenen Ergebnisse im Hinblick auf andere hyperelastische Gesetze44,45,46 zu untersuchen, hat die Verwendung der Neo-Hookeschen Elastizität eine bemerkenswerte numerische Konvergenz gezeigt (siehe „Numerisches Modell und Methoden“), und das ist auch der Fall in der Lage, die experimentellen Ergebnisse zu reproduzieren (siehe Abb. 5). Darüber hinaus erfordern andere Materialgesetze möglicherweise eine zusätzliche Parametrisierungsanalyse in Bezug auf das Neo-Hookesche Gesetz, dessen Koeffizienten direkt aus der Poisson-Zahl und dem Elastizitätsmodul unter Verwendung von Gl. berechnet werden können. (6). Folglich wird die Neo-Hookesche Elastizität im weiteren Verlauf der Behandlung verwendet und der Vergleich der Ergebnisse in Bezug auf verschiedene Materialgesetze wird Gegenstand einer zukünftigen Arbeit sein.

Die experimentelle Validierung der mit dem numerischen Modell erzielten Ergebnisse erfolgt durch Vergleich mit den (öffentlich verfügbaren) experimentellen Daten von Gregory31, 32. In der verwendeten Versuchsanlage wird ein zusammenklappbares Rohr zunächst vorgestreckt und dann festgeklemmt. Der Wert des intramuralen Drucks wird mit einer Spritze gesenkt und mit einem Manometer überwacht. Die entsprechenden Werte der Fläche des zentralen Querschnitts werden durch Analyse der Bilder berechnet, die von einem Kamerasystem aus mehreren Positionen aufgenommen wurden (weitere Einzelheiten finden Sie in der Originalarbeit31).

Validierung des numerischen Modells durch Vergleich mit experimentellen Daten31, 32. Zur Schätzung der Fehlerbalken wird die Anfangsfläche dreimal gemessen. Die Länge der Fehlerbalken entspricht der absoluten Differenz zwischen den entsprechenden Maximal- und Minimalwerten.

Die Validierung erfolgt durch den Vergleich der experimentell ermittelten Röhrengesetze und des numerischen Modells. Für jede im Vergleich verwendete Röhre wird mithilfe der integrierten CAD-Software eine digitale Replik (dargestellt durch die roten Punkte in Abb. 2a) in Star-CCM+ implementiert. Es gelten die gleichen Randbedingungen (axiale Vordehnung und Klemmung). Der mit den aktuellen Simulationen untersuchte intramurale Druckbereich ist größer und umfasst den entsprechenden, in den Experimenten verwendeten. In Abb. 5 ist der Vergleich mit vier verschiedenen Rohrgeometrien und Vordehnungswerten dargestellt. Das Verhalten des Systems vor und nach dem Knicken wird durch das numerische Modell gut erfasst.

In diesem Abschnitt wird eine Methode zur Bestimmung des Wertes des knickkritischen Drucks aus dem Rohrgesetz vorgestellt. Die Hauptannahme ist, dass das Knickphänomen eines kollabierbaren Rohrs ein spontaner Symmetriebruch ist und daher als Phasenübergang zweiter Ordnung behandelt werden kann. Ein Phasenübergang zweiter Ordnung tritt auf, wenn das System kontinuierlich (und nicht augenblicklich) einen neuen Zustand reduzierter Symmetrie erreicht47. Die phänomenologische Beobachtung, dass ein isotroper Außendruck eine geknickte Querschnittsform erzeugt, die nicht rotationsinvariant ist, bestätigt diese Hypothese. Darüber hinaus erfolgt, wie aus dem Rohrgesetz (siehe blauer Kreis in Abb. 1) hervorgeht, der Übergang vom Zustand vor dem Knicken zum Zustand nach dem Knicken kontinuierlich. Auf strengere Weise (und inspiriert von biophysikalischen Problemen) hat Turzi37 gezeigt, dass das Knickphänomen eines elastischen dehnbaren Rings, der einem isotropen Druck ausgesetzt ist, ein Phasenübergang zweiter Ordnung ist. Obwohl die genaue Übertragung dieser an einem 1D-Ring erzielten Ergebnisse auf ein vorgestrecktes 3D-Knickrohr den Rahmen dieser Arbeit sprengt, ist die phänomenologische Analogie zwischen dem Knickverhalten eines Rings und dem zentralen Querschnitt eines faltbaren Rohrs zutreffend weithin etabliert48. Diese Analogie wurde mehrfach ausgenutzt, um eindimensionale Analyseergebnisse auf die Behandlung von dreidimensionalen kollabierbaren Rohren auszudehnen49, 50. In der Ökonomie der vorliegenden Arbeit dient diese Beobachtung jedoch nur dazu, die Hauptannahme der Methode, d. h., weiter zu bestätigen Das Knicken des kollabierbaren Rohrs ist ein Phasenübergang zweiter Ordnung. Die im nächsten Unterabschnitt beschriebene Methodik erfordert tatsächlich keine geometrische Vereinfachung und kann ohne weitere Hypothese auf realistische Geometrien erweitert werden, die von den menschlichen Leitungen und Gefäßen im Atmungs- und Kreislaufsystem inspiriert sind, selbst bei vorhandenem Flüssigkeitsfluss.

Die thermodynamische Behandlung von Phasenübergängen zweiter Ordnung erfordert die Einführung zweier mathematischer Hauptobjekte: des Ordnungsparameters \(\alpha\) und des Landau-Potentials \(\varphi\) des Systems36 (ein häufiges Beispiel für Landau). Potential ist die freie Energie des Systems). Der Ordnungsparameter ist eine Funktion einer thermodynamischen Variablen, die vor dem Übergang von Null verschieden und nach dem Übergang gleich Null ist. Ein typisches Beispiel ist die Magnetisierung als Funktion der Temperatur beim ferromagnetisch-paramagnetischen Übergang. Die Hauptannahme dieser Formulierung der Mean-Field-Theorie ist das Fehlen langfristiger Korrelationen in der Domäne. Darüber hinaus muss das Landau-Potenzial die gleichen Symmetrien der Differentialgleichungen respektieren, die die Entwicklung des Systems beschreiben, und im Ordnungsparameter und seinem Gradienten analytisch sein36. Folglich kann das Landau-Potenzial im Übergangsbereich hinsichtlich des Ordnungsparameters \(\alpha\) als Taylor-entwickelt werden

wobei \(c_1>0\) und \(c_2 >0\) Konstanten sind, \(\xi\) eine thermodynamische Variable ist und \(\xi _{crit}\) der kritische Wert für \(\xi \), an dem der Übergang stattfindet. Die Minimierung des Landau-Potenzials ergibt eine Gleichung für den Ordnungsparameter:

Diese Gleichung hat zwei Lösungen (siehe Abb. 6a):

(Linkes Feld) Diagramm von Gl. (9) für \(\xi _{krit}=1\) und \(\xi <\xi _{krit}\). (Rechtes Bild) Detail des vorverarbeiteten Knickübergangsbereichs in der Rohrgesetzanpassung mit Gl. (10). Die Analogie zwischen den beiden Diagrammen bestätigt die Gültigkeit der Hypothese.

Wenn daher die Beziehung zwischen dem Ordnungsparameter \(\alpha\) und der thermodynamischen Variablen \(\xi\) in einer kleinen Umgebung des Übergangs bekannt ist, ist es möglich, den Wert von \(\xi _{krit }\) mittels Gl. (9). Die Haupteinschränkung dieses Ansatzes besteht darin, dass er eine rein phänomenologische Beschreibung des Übergangs liefert und beispielsweise die Behandlung von Fluktuationen vernachlässigt. Dennoch kann es effektiv genutzt werden, um die kritischen Punkte des Phasenübergangs zu untersuchen, und genau das ist der Umfang dieser Arbeit. Bei der Betrachtung von Elastizitätsproblemen muss eine zusätzliche Komplexitätsebene berücksichtigt werden. Obwohl die a priori bekannte Verformungsenergie des Systems die Rolle eines Landau-Potentials spielen kann, ist dies keine Funktion mehr, sondern eine Funktion, die auf einem unendlichdimensionalen Raum definiert ist. In der Arbeit von Turzi37 führte er eine rigorose Reduzierung der elastischen Energie auf ein endlichdimensionales Landau-Potenzial durch, um Knickphänomene vieler elastischer Systeme zu untersuchen, einschließlich eines eindimensionalen dehnbaren Rings, der einem externen isotropen Druck ausgesetzt ist. Darüber hinaus zeigt er, dass die umschlossene Fläche des Rings eine Funktion des Ordnungsparameters ist. Diese Beobachtungen können im Rahmen dieser Arbeit genutzt werden, um den knickkritischen Druck eines kollabierbaren Rohrs anhand des Rohrgesetzes abzuschätzen. Nach Turzi kann die Fläche des zentralen Rohrquerschnitts als repräsentative Funktion des Ordnungsparameters verwendet werden. Der Zusammenhang zwischen dem Ordnungsparameter und dem intramuralen Druck \(p_{intr}\) (der in Gleichung (9) die Rolle der Variablen \(\xi\) spielt) kann daher mit dem Röhrengesetz analysiert werden. Die Methodik besteht aus einem Anpassungsverfahren des Röhrengesetzes mit einer Verallgemeinerung von Gl. (9) in der Lage, einen größeren Teil des Röhrengesetzes anzupassen, da diese Beziehung nur in einer kleinen Umgebung des Übergangs gültig ist. Unter den verschiedenen Erweiterungen von Gl. (9) In der Literatur vorgeschlagen51 hat die folgende Funktion die besten Ergebnisse gezeigt (siehe Abb. 6b)

wobei \(A_{crit}\) der Wert der Fläche ist, die dem knickkritischen Druck \(p_{crit}=-\tilde{p}_{crit}\), \(c_1>0\) und \ entspricht (c_2>0\) sind zwei freie Parameter, \(\tilde{p}=-p_{intr}\), und \(\beta >0\) ist ein zusätzlicher freier Parameter, der üblicherweise als kritischer Exponent bezeichnet wird. Die Ergebnisse dieser Analyse wurden nach folgendem Verfahren ermittelt:

Für jedes Triplett \((d,\gamma, l)\) geometrischer Parameter (dh für jeden Datenpunkt in Abb. 2a) wird das entsprechende numerische Modell gemäß „Numerisches Modell und Methoden“ implementiert.

Das entsprechende Röhrengesetz, also die beiden Mengen \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\ ), wird wie in „Das Röhrengesetz“ beschrieben berechnet.

Das Röhrengesetz ist vorverarbeitet. Da sich die vorliegende Analyse auf den Knickdruck konzentriert, wird der den Kontakt betreffende Bereich des Rohrgesetzes vernachlässigt. Darüber hinaus wird der intramurale Druck durch \(\tilde{p}=-p_{intr}\) neu definiert. Ein Beispiel für die entsprechende Darstellung ist in Abb. 6b als durchgezogene schwarze Linie dargestellt.

Ein Python-Algorithmus, der die Funktion scipy.optimize.curve_fit52 verwendet, wird verwendet, um das vorverarbeitete Röhrengesetz mit Gleichung anzupassen. (10) (gestrichelte rote Linie in Abb. 6b). Der Wert von \(A_{crit}\) wird optimiert, um die Qualität der Anpassung zu maximieren. Es werden die Werte der Parameter \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) mit den entsprechenden Varianzen extrahiert.

Im folgenden Unterabschnitt werden die Ergebnisse dieser Analyse und die Abhängigkeit des knickkritischen Drucks von den geometrischen Parametern diskutiert.

Das im vorherigen Abschnitt vorgestellte algorithmische Verfahren ermöglicht die Untersuchung der Abhängigkeit des knickkritischen Drucks von den geometrischen Parametern eines kollabierbaren Rohrs. Um das vollständige Nachkontaktverhalten des Systems zu erfassen, wird der maximale intramurale Druck auf \(p_{max}=8000\) Pa und \(\tau =20\) s festgelegt, was einer Druckauflösung von entspricht 40 Pa (siehe Gleichung (3)). Zunächst wird die Abhängigkeit vom Länge-zu-Durchmesser-Verhältnis d untersucht. Die durch das Anpassungsverfahren erhaltenen Zahlenwerte der Parameter \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta)\) und die entsprechende Varianz finden Sie in den Zusatzdaten. Der Durchschnittswert der kritischen Exponenten beträgt \(\bar{\beta }=0,55\pm 0,07\), was mit dem erwarteten Wert des Exponenten von Gl. übereinstimmt. (9). Die für \(d\in (3,3.5,4,4.5,5,5.5,6)\) erhaltenen Werte der kritischen Drücke sind in Abb. 7a dargestellt. Die Beziehung zwischen \(p_{krit}\) und dem Länge-zu-Durchmesser-Verhältnis d wird durch ein Anpassungsverfahren unter Verwendung der folgenden Funktion erhalten

wobei A, B, C freie Parameter sind. Diese Modellfunktion ahmt die gleiche funktionale Abhängigkeit von \(p_{crit}\) von d nach, die in Gleichung beschrieben wird. (1) und im Werk von Zarandi35. Die resultierenden Werte sind in Tabelle 2 aufgeführt. Die anderen geometrischen Parameter sind auf \(l=1,1\) und \(\gamma =0,06\) festgelegt. Interessanterweise stimmt der mit der vorgestellten Methode erhaltene Exponent B innerhalb des Fehlers nahezu mit dem in der von Mises-Gleichung (1) überein, während Zarandi einen Wert von -3,3 schätzte. Wie jedoch aus Abb. 7a, Gl. (1) überschätzt den Wert des kritischen Knickdrucks im Bereich der Parameter, die für menschliche Gefäße von Interesse sind. Die Unterschiede zu den von Zarandi erzielten Ergebnissen lassen sich wahrscheinlich auf die in seiner Arbeit verwendete heuristische Definition des knickkritischen Drucks zurückführen35. Im Kontext der Phasenübergangstheorie gilt Gl. (11), ausgewertet unter Verwendung der in Tabelle 2 aufgeführten Parameter, definiert die Grenze zwischen dem nicht knickenden Zustand und dem knickenden Zustand für das kollabierbare Rohr in Bezug auf das Länge-Durchmesser-Verhältnis (siehe Abb. 7b für das entsprechende Phasendiagramm \((d , p_{intr})\)). Eine Visualisierung der Röhrengesetze, die durch Aufspannen des Parameters d analysiert wurden, ist in Abb. 8 verfügbar.

(Linkes Feld) Vergleich zwischen den Simulationsdaten, die mit Gl. übereinstimmen. (11) und die von Mises-Gleichung. (Rechtes Feld) Phasendiagramm für den Knickphasenübergang in Bezug auf das Länge-Durchmesser-Verhältnis d.

Rohrgesetze, die durch Spannen des Wertes des Längen-Durchmesser-Verhältnisses d erhalten werden. Die schwarzen Punkte stellen den Wert der kritischen Knickdrücke und die entsprechenden geschätzten Flächen für die verschiedenen Rohrgesetze dar.

Betrachten wir nun die Abhängigkeit des knickkritischen Drucks vom Dicke-zu-Durchmesser-Verhältnis \(\gamma\). Die Zahlenwerte der Parameter \((c_1, c_2, {\tilde{p}}_{crit}, \beta)\) des Fits mit Gl. (10) und die entsprechenden Abweichungen sind in den Zusatzdaten aufgeführt. Der Durchschnittswert der kritischen Exponenten beträgt \(\bar{\beta }=0,5\pm 0,04\), was mit Gl. (9). Die für \(\gamma \in (0,05, 0,06,0,07,0,08,0,09)\) erhaltenen Werte der kritischen Drücke sind in Abb. 9a dargestellt. Die Beziehung \(p_{krit}=p_{krit}(\gamma)\) wird durch ein Anpassungsverfahren unter Verwendung der folgenden Funktion erhalten

wobei A und B freie Parameter sind. Diese Modellfunktion folgt der gleichen funktionalen Abhängigkeit für \(\gamma\), die in Gl. (1). Die resultierenden Werte sind in Tabelle 2 aufgeführt. Die anderen geometrischen Parameter sind auf \(l=1,1\) und \(d=3\) festgelegt. Der Vergleich zwischen dem von Mises-Modell und den in dieser Arbeit erzielten Ergebnissen ist in Abb. 9a dargestellt. Für die in dieser Arbeit untersuchten geometrischen Parameterwerte (siehe Abb. 2a) überschätzt die von Mises-Gleichung den Wert des kritischen Knickdrucks deutlich. Der Grund liegt in der Annahme des von Mises-Modells, das die Theorie dünner Schalen verwendet. Tatsächlich nimmt die Diskrepanz bei höheren Werten von \(\gamma\) zu. Ähnlich wie in der vorherigen Analyse gilt Gl. (12) definiert die Grenze zwischen dem Knickzustand und dem Nichtknickzustand im \((\gamma, p_{intr})\)-Phasendiagramm (siehe Abb. 9b). Eine Visualisierung der Röhrengesetze, die durch Aufspannen des Parameters \(\gamma\) analysiert wurden, ist in Abb. 10 verfügbar.

(Linkes Feld) Vergleich zwischen den Simulationsdaten, die mit Gl. übereinstimmen. (12) und die von Mises-Gleichung. (Rechtes Feld) Phasendiagramm für den Knickphasenübergang in Bezug auf das Dicke-Durchmesser-Verhältnis \(\gamma\).

Rohrgesetze, die durch Spannen des Wertes des Dicken-Durchmesser-Verhältnisses \(\gamma\) erhalten werden. Die schwarzen Punkte stellen den Wert der kritischen Knickdrücke und die entsprechenden geschätzten Flächen für die verschiedenen Rohrgesetze dar.

Abschließend wird die Abhängigkeit des knickkritischen Drucks vom Verhältnis l der axialen Vordehnungslänge zum Durchmesser analysiert. Die Zahlenwerte der Parameter \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) des Fits mit Gl. (10) und die entsprechenden Abweichungen sind in den Zusatzdaten aufgeführt. Der Durchschnittswert der kritischen Exponenten beträgt \(\bar{\beta }=0,55\pm 0,05\), was wiederum mit dem Exponenten von Gl. übereinstimmt. (9). Die für \(l\in (1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8)\) erhaltenen Werte der kritischen Drücke sind in Abb. 11a dargestellt. Die Beziehung \(p_{krit}=p_{krit}(l)\) wird durch ein Anpassungsverfahren unter Verwendung der folgenden Funktion erhalten

wobei A, B, C freie Parameter sind. Diese Funktion wurde aufgrund der Beobachtung ausgewählt, dass der Wert des kritischen Drucks für einen höheren Wert von l asymptotisch konstant wird. Die resultierenden Werte sind in Tabelle 2 aufgeführt. Die Abhängigkeit des knickkritischen Drucks von der dimensionslosen axialen Vordehnung l ist in Abb. 11a dargestellt. Das \((l, p_{intr})\)-Phasendiagramm ist in Abb. 11b dargestellt, wobei die Grenze zwischen dem Knickzustand und dem Nichtknickzustand durch Gleichung definiert ist. (13). Eine Visualisierung der durch Spannen des Parameters l analysierten Röhrengesetze ist in Abb. 12 verfügbar. Der Effekt der Vordehnung ist bei niedrigen intramuralen Drücken deutlich, da der Anfangswert der normalisierten Fläche bei größeren Werten der Vordehnung kleiner wird. Dehnungsparameter l. Das interessante Verhalten, das in der Kontaktregion (ca. (-6000) Pa) auftritt, wird Gegenstand zukünftiger Untersuchungen sein.

(Linkes Feld) Vergleich zwischen den Simulationsdaten und Gl. (13). (Rechtes Feld) Phasendiagramm für den Knickphasenübergang in Bezug auf das Vordehnungsverhältnis l.

Rohrgesetze, die durch Spannen des Werts des Vordehnungsverhältnisses l erhalten werden. Die schwarzen Punkte stellen den Wert der kritischen Knickdrücke und die entsprechenden geschätzten Flächen für die verschiedenen Rohrgesetze dar.

Die unter „Knickungskritischer Druck“ beschriebenen Ergebnisse skizzieren die funktionalen Abhängigkeiten zwischen den physikalischen Größen, die zur Beschreibung des Verhaltens eines kollabierbaren Rohrs vor und nach dem Knicken verwendet werden. Die dargestellten Absolutwerte des knickkritischen Drucks hängen jedoch von den geometrischen Parametern ab, die während der verschiedenen Analysen konstant gehalten werden. In diesem Abschnitt wird eine Reihe allgemeiner Gleichungen abgeleitet, mit denen sich die Werte des kritischen Knickdrucks zusammen mit der entsprechenden Fläche für ein kollabierbares Rohr mit (einigermaßen) beliebiger Geometrie abschätzen lassen. Die Methode basiert auf einer Beobachtung von Gregory et al.31, die experimentell eine Reihe nichtdimensionaler Variablen herleitete, die in der Lage waren, verschiedene Rohrgesetze näherungsweise auf einer einzigen Kurve zusammenzufassen. Sie bewiesen dies, indem sie den intramuralen Druck \(p_{intr}\) und die Fläche des zentralen Querschnitts A in der folgenden nichtdimensionalen Form neu definierten

Verschiedene Röhrengesetze neigen dazu, zu einem einzigen dimensionslosen allgemeinen Röhrengesetz zusammenzufallen (siehe Abb. 13). Die Gültigkeit dieser Behauptung wurde experimentell für den Parameterbereich \((d,\gamma,l)\) nachgewiesen, der für biomedizinische Strömungen von Interesse ist31.

(Linkes Feld) Die in dieser Arbeit analysierten Röhrengesetze. (Rechtes Feld) Die entsprechenden nichtdimensionalen Röhrengesetze, die durch die Transformation in Gl. (14). Die Handlungsstränge fallen fast in einer einzigen Zeile zusammen. Der schwarze Punkt zeigt die Durchschnittswerte des dimensionslosen kritischen Knickdrucks und die entsprechende Fläche gemäß Gl. (16).

Unter Verwendung der im Ausdruck (14) definierten nichtdimensionalen Variablen wurde das folgende Verfahren implementiert, um einen Satz allgemeiner nichtdimensionaler Gleichungen für den kritischen Knickdruck und die entsprechende Fläche zu bestimmen:

Für jedes Triplett \((d,\gamma ,l)\) geometrischer Parameter wird das entsprechende numerische Modell gemäß „Numerisches Modell und Methoden“ implementiert.

Das entsprechende Röhrengesetz, also die beiden Mengen \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\ ), wird wie in „Das Röhrengesetz“ beschrieben berechnet.

Der Wert des kritischen Knickdrucks und die entsprechende Fläche werden anhand des Rohrgesetzes mithilfe des unter „Abschätzung des kritischen Knickdrucks“ beschriebenen Verfahrens geschätzt.

Die Werte der knickkritischen Drücke und der entsprechenden Flächen werden gemäß Gl. neu definiert. (14).

Auf diese Weise werden die dimensionslosen Werte der kritischen Beuldrücke und die entsprechenden Flächen für den gesamten in dieser Studie untersuchten Satz geometrischer Parameter berechnet. Mit anderen Worten: Das Ergebnis dieser Prozedur sind die folgenden zwei Wertesätze

entsprechend dem Satz von dimensionslosen knickkritischen Druck- bzw. knickkritischen Bereichen. Der Index i läuft auf den Tripletts der in dieser Studie analysierten geometrischen Parameter und \(N=20\) gibt deren Gesamtzahl an. Wie in Abb. 13 dargestellt, sind die Röhrengesetze, die mit Gl. (14) fallen nicht exakt in eine Zeile zusammen, sondern zeigen eine relativ geringe Werteverteilung. Durch die Berechnung der Mittelwerte und der entsprechenden Standardabweichungen für jeden Satz in Gl. (15) Es ist möglich, die folgenden Ausdrücke für den kritischen Knickdruck und die kritische Fläche zu erhalten:

Gegeben sei ein beliebiges Triplett geometrischer Parameter \((d,\gamma, l)\), Gl. (16) Schätzen Sie den Wert der knickkritischen Drücke und die entsprechende Fläche.

In dieser Arbeit wurde eine systematische Untersuchung des kritischen Knickdrucks eines kollabierbaren Rohrs mithilfe validierter numerischer 3D-Simulationen und einer Nachbearbeitungstechnik basierend auf der Phasenübergangstheorie durchgeführt. Die funktionale Abhängigkeit solcher kritischer Drücke von den geometrischen Parametern wurde dargestellt. Abschließend wurde ein Satz allgemeiner dimensionsloser Gleichungen zur Abschätzung der kritischen Knickdrücke zusammen mit den entsprechenden Flächen des zentralen Rohrquerschnitts abgeleitet. Die in dieser Arbeit vorgestellte Methodik ermöglicht eine genaue und reproduzierbare Schätzung des kritischen Knickdrucks eines kollabierbaren Rohrs. Der Hauptvorteil besteht darin, dass keine geometrische Annahme erforderlich ist, sondern ausschließlich auf der Beobachtung basiert, dass das Knicken eines kollabierbaren Rohrs als Phasenübergang zweiter Ordnung behandelt werden kann, wodurch sich die Methode für andere Arten von Anwendungen eignet53, 54. Dies impliziert, dass dieser Ansatz direkt zur Schätzung des kritischen Knickdrucks in komplexen patientenspezifischen Geometrien wie den Rachen-Atemwegen von Patienten mit Schlafapnoe eingesetzt werden kann, selbst bei Vorhandensein eines Flüssigkeitsflusses, was die natürliche Fortsetzung dieser Arbeit darstellt. Eine weitere interessante Perspektive ist die Möglichkeit, die Sensitivität der präsentierten Ergebnisse im Hinblick auf andere hyperelastische Theorien zu analysieren. Abschließend wird eine eingehende Analyse des kontaktkritischen Drucks das Ziel einer zukünftigen Arbeit sein.

Die in dieser Arbeit verwendeten Algorithmen finden Sie unter https://github.com/MarcoLaud/CollapsibleTube. Die Simulationsdaten können auf begründete Anfrage durch Kontaktaufnahme mit dem entsprechenden Autor dieser Arbeit bereitgestellt werden.

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Das Projekt wird von KTH Engineering Mechanics in den Themenbereichen Biomechanik, Gesundheit und Biotechnologie (BHB) und dem Swedish Research Council Grant VR 2020-04857 finanziert. Die Autoren danken PRACE für die Gewährung des Zugangs zu den Fenix-Infrastrukturressourcen bei CINECA, die teilweise aus dem Forschungs- und Innovationsprogramm Horizon 2020 der Europäischen Union über das ICEI-Projekt im Rahmen der Fördervereinbarung Nr. 800858 finanziert werden. Die Simulationen wurden teilweise auf dem Swedish National durchgeführt Infrastructure for Computing (SNIC)-Ressourcen im PDC Center for High Performance Computing (PDC-HPC). Die Autoren danken Dr. E. Nocerino für die fruchtbaren Diskussionen zur Phasenübergangstheorie.

Open-Access-Finanzierung durch das Royal Institute of Technology.

Abteilung für Technische Mechanik, FLOW Research Center, KTH Royal Institute of Technology, 10044, Stockholm, Schweden

Marco Laudato, Roberto Mosca und Mihai Mihaescu

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ML konzipierte die Simulationen und die Nachbearbeitungstechniken. RM war an der Umsetzung der Simulationen beteiligt. MM hat das Projekt initiiert und an der Analyse der Ergebnisse mitgewirkt. Alle Autoren haben das Manuskript überprüft.

Korrespondenz mit Marco Laudato.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Laudato, M., Mosca, R. & Mihaescu, M. Knicken kritischer Drücke in zusammenklappbaren Schläuchen, relevant für biomedizinische Strömungen. Sci Rep 13, 9298 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-36513-6

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Eingegangen: 12. April 2023

Angenommen: 05. Juni 2023

Veröffentlicht: 08. Juni 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-36513-6

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